Р.Р. Костиков поступил на Химический факультет ЛГУ в 1957 г., окончил его по Кафедре органической химии в 1960 г. и был рекомендован в аспирантуру. С 1962 г. работал в должности ассистента Кафедры органической химии. В 1967 г. Р.Р. Костиков защитил кандидатскую диссертацию. С 1970 г. работал в должности доцента. В 1980 г. Р.Р. Костиков защитил докторскую диссертацию по теме “Исследование реакций дигалокарбенов с соединениями, содержащими сопряженные, кросс-сопряженные и кумулированные кратные связи” и в 1982 г. был избран профессором Кафедры органической химии. С 1985 по 1987 г. заведовал Кафедрой физической органической химии. После 1987 г. по настоящее время работает профессором Кафедры органической химии.